题目描述

有一个特定的“随机数生成器”（RNG），它接受一个非负整数作为输入，并生成另一个非负整数作为输出。但你知道这个 RNG 实际上根本算不上随机！它使用一个固定的数字 $K$，并且总是执行以下三种操作之一：

• 以 $A/100$ 的概率：返回输入与 $K$ 的按位与
• 以 $B/100$ 的概率：返回输入与 $K$ 的按位或
• 以 $C/100$ 的概率：返回输入与 $K$ 的按位异或

（你可以假定 RNG 在每次基于 $A$、$B$ 和 $C$ 的值选择操作时，确实是真正随机的。）

你拥有 $N$ 个这样的 RNG 副本，并将它们串联在一起，使得前一个机器的输出成为串联中下一个机器的输入。如果你将 $X$ 作为输入提供给第一个机器，那么串联中最后一个机器的输出的期望值是多少？

输入格式

输入的第一行给出测试用例的数量 $T$。接下来是 $T$ 个测试用例；每个测试用例占一行，包含六个整数 $N$、$X$、$K$、$A$、$B$ 和 $C$。它们分别表示机器的数量、初始输入、所有按位操作（在每台机器上）将使用的固定数字，以及按位与、按位或、按位异或操作的概率乘以 $100$ 后的值。

输出格式

对于每个测试用例，输出一行形如 Case #x: y 的内容，其中 $x$ 是测试用例编号（从 $1$ 开始），$y$ 是最终输出的期望值。如果 $y$ 与正确答案的绝对或相对误差在 $10^{-9}$ 以内，则被视为正确。

3
1 5 5 10 50 40
2 5 5 10 50 40
10 15 21 70 20 10

Case #1: 3.0000000000
Case #2: 3.6000000000
Case #3: 15.6850579098

提示

在样例测试用例 #1 中，如果发生按位与或按位或，最终输出将是 $5$；如果发生按位异或，最终输出将是 $0$。因此得到 $5$ 的概率是 ($0.1 + 0.5$)，得到 $0$ 的概率是 $0.4$。所以最终输出的期望值是 $5 \times 0.6 + 0 \times 0.4 = 3$。

在样例测试用例 #2 中，最终输出以 $0.72$ 的概率为 $5$，否则为 $0$。

限制

• $1 \le T \le 50$。
• $0 \le A \le 100$。
• $0 \le B \le 100$。
• $0 \le C \le 100$。
• $A + B + C = 100$。

小数据集（测试集 1 - 可见）

• $1 \le N \le 10$。
• $0 \le X \le 10^4$。
• $0 \le K \le 10^4$。

大数据集（测试集 2 - 隐藏）

• $1 \le N \le 10^5$。
• $0 \le X \le 10^9$。
• $0 \le K \le 10^9$。

翻译由 DeepSeek V4 Pro 完成