朴素的 Dijkstra 算法

• 初始化：除了起点之外，最短路都是无穷大，所有点都还没确定
• 不停地去确定还没确定的点
  • 找到还没确定的点中最近的一个
  • 标记这个点已经确定了
  • 用这个点优化相邻的点
    • 尝试用 dis[u]+w 来优化 dis[v]

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
// 因为会用到 INF+x，所以务必保证 INF+INF 不会溢出，否则就要特判
const int INF = 1LL * 300'000 * 1'000'000'000;
const int MAXN = 300000;
const int MAXM = 300000;
int n, m;
vector<pair<int, int>> e[MAXN + 5];
int dis[MAXN + 5];  // 起点到每个点的最短路
bool vis[MAXN + 5]; // 是否确定下来了
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    // 输入存图
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        e[u].push_back({v, w});
    }
    // Dijkstra 算法
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dis[i] = INF;
        vis[i] = false;
    }
    dis[1] = 0;
    while (1)
    {
        int u = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (vis[i] == false &&
                (u == -1 || dis[i] < dis[u]))
                u = i;
        if (u == -1)
            break;
        vis[u] = true;
        for (int i = 0; i < e[u].size(); i++)
        {
            int v = e[u][i].first;
            int w = e[u][i].second;
            dis[v] = min(dis[v], dis[u] + w);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (dis[i] == INF)
            cout << -1 << " ";
        else
            cout << dis[i] << " ";
    return 0;
}

优先队列优化的 Dijkstra 算法

• 初始化：除了起点之外，最短路都是无穷大，所有点都还没确定
• 把起点放入优先队列
• 只要优先队列还有东西，就继续优化
  • 取出当前最近的
  • 如果这个点已经被确定了，就跳过这个点
  • 如果没有确定，这个点可以确定下来了，不可能被优化了
  • 用这个点优化相邻的点
    • 尝试用 dis[u]+w 来优化 dis[v]

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
// 因为会用到 INF+x，所以务必保证 INF+INF 不会溢出
// 实际上也可以用 -1 表示无法到达，然后特判 -1 即可
const int INF = 1LL * 300'000 * 1'000'000'000;
const int MAXN = 300000;
const int MAXM = 300000;
int n, m;
vector<pair<int, int>> e[MAXN + 5];
int dis[MAXN + 5];  // 起点到每个点的最短路
bool vis[MAXN + 5]; // 是否确定下来了
// 存 <-dis[i],i> 来保证每次都能拿出来最近的点
priority_queue<pair<int, int>> q;
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    // 输入存图
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        e[u].push_back({v, w});
    }
    // Dijkstra 算法
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dis[i] = INF;
        vis[i] = false;
    }
    dis[1] = 0;
    q.push({-dis[1], 1});
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[u])
            continue;
        vis[u] = true;
        for (int i = 0; i < e[u].size(); i++)
        {
            int v = e[u][i].first;
            int w = e[u][i].second;
            if (dis[u] + w < dis[v])
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                q.push({-dis[v], v});
            }
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (dis[i] == INF)
            cout << -1 << " ";
        else
            cout << dis[i] << " ";
    return 0;
}