#P12689. [KOI 2022 Round 1] 巨大的城市

[KOI 2022 Round 1] 巨大的城市

题目背景

试题来源:https://koi.or.kr/archives/。中文翻译做了少量本土化修改。

按照署名—非商业性使用—相同方式共享 4.0 协议国际版进行授权。

题目描述

KOI 市太大了,移动时需要花费很长时间。为了解决这个问题,KOI 市修建了一条贯穿全城的超长道路。这些道路朝南北方向或东西方向无限延伸。南北方向的道路共有 NN 条,东西方向的道路共有 MM 条。道路的宽度可以忽略不计。

若以 KOI 市市政府为原点在坐标平面上绘制城市,则南北方向的道路可表示为 x=ai (1iN)x = a_i\ (1 \leq i \leq N) 的直线,东西方向的道路可表示为 y=bj (1jM)y = b_j\ (1 \leq j \leq M) 的直线。例如,下图展示了 x=3x = 3 的道路和 y=2y = 2 的道路。请注意,尽管图中道路是有限长度,但实际这些道路是无限延伸的。

在这 N+MN + M 条道路中,有 KK 条道路上各派驻了一名警察以防止超速。第 k (1kK)k\ (1 \leq k \leq K) 名警察的位置是 (pk,qk)(p_k, q_k),且每名警察必定位于其负责的道路上。

例如,图中有一名警察被派驻在 x=3x = 3 的道路上 (3,2)(3, -2) 处,另一名警察被派驻在 y=2y = 2 的道路上 (4,2)(-4, 2) 处。某些道路上可能没有警察,但如果某条道路上有警察,则只会有一名。

警察只能沿道路移动。如果两条道路交叉,则警察可以在交点处切换到另一条道路,切换过程无需耗费距离。

如下图所示,一名警察可以从 x=3x = 3 的道路上 (3,2)(3, -2) 处出发,经由交点 (3,2)(3, 2) 切换到 y=2y = 2 的道路上,从而移动到另一名警察所在的位置,所需移动总距离为 1111

警察需要在紧急情况下能够迅速会合。因此,你的任务是:对于所有可能的两两警察组合,计算他们最短的相遇距离,并输出所有这些最短距离的总和。

在这个例子中,共有 3 种可能的组合:

  • 位于 y=2y = 2 道路的警察与位于 x=4x = -4 道路的警察会合。这种情况下,两位警察至少需要移动 33 单位距离才能相遇。
  • 位于 y=2y = 2 道路的警察与位于 x=3x = 3 道路的警察会合。这种情况下,两位警察至少需要移动 1111 单位距离才能相遇。
  • 位于 x=4x = -4 道路的警察与位于 x=3x = 3 道路的警察会合。这种情况下,两位警察至少需要移动 1212 单位距离才能相遇。

因此,总和为 2626。虽然有两名警察的 xx 坐标都是 4-4,但警察 (4,2)(-4, 2) 是驻扎在 y=2y = 2 道路上的,而警察 (4,1)(-4, -1) 则在 x=4x = -4 道路上,所以这样的输入是有效的,请注意此类情况。

请你编写一个程序,给定 KOI 市的道路和警察的位置,计算如上所述的所有警察两两之间最短相遇距离的总和。

输入格式

第一行输入三个整数 NN, MM, KK,以空格分隔。

第二行输入 NN 个整数 a1,a2,,aNa_1, a_2, \cdots, a_N,以空格分隔,表示南北方向道路的 xx 坐标。

第三行输入 MM 个整数 b1,b2,,bMb_1, b_2, \cdots, b_M,以空格分隔,表示东西方向道路的 yy 坐标。

接下来 KK 行,每行两个整数 pkp_k, qkq_k,表示第 kk 名警察的位置。

输出格式

输出一个整数,表示所有两两警察组合的最短相遇距离之和。

2 2 3
-4 3
2 -4
-4 2
-4 -1
3 -2
26
2 3 5
-2 5
5 -3 2
-1 5
0 2
4 -3
5 4
-2 -2
88

提示

约束条件

  • 所有输入均为整数。
  • 1N1000001 \leq N \leq 100\,000
  • 1M1000001 \leq M \leq 100\,000
  • 2KN+M2 \leq K \leq N + M
  • $-100\,000 \leq a_i \leq 100\,000\quad (1 \leq i \leq N)$
  • $-100\,000 \leq b_j \leq 100\,000\quad (1 \leq j \leq M)$
  • $-100\,000 \leq p_k, q_k \leq 100\,000\quad (1 \leq k \leq K)$
  • 所有 aia_i 互不相同,所有 bjb_j 互不相同,所有警察位置 (pk,qk)(p_k, q_k) 互不相同
  • 每条道路上最多只有一名警察

子任务

  1. (14 分)M=1M = 1
  2. (11 分)所有警察都仅驻扎在两条道路的交点上
  3. (20 分)1N,M201 \leq N, M \leq 20
  4. (25 分)1N,M10001 \leq N, M \leq 1\,000
  5. (30 分)无附加限制