题目描述

MCPlayer542 最近在学习《量子计算与量子信息》。他对量子态的表示方式非常感兴趣。

和经典比特不同，一个量子比特不仅可以处于状态 $|0\rangle$ 或状态 $|1\rangle$，还可以处于 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 之间的叠加态。

一个由 $n$ 量子比特组成的量子系统的状态通常由一个 $2^n$ 维的复向量 $|\psi\rangle$ 表示，其中当你在计算基上进行测量时，第 $i$ 个复数与其共轭之积代表这 $n$ 个量子比特的状态转为二进制数后，恰好为 $i$ 的二进制表示的概率。

例如，对两量子比特的系统 $|\phi\rangle=[\frac12,\frac12-\frac{\bf{i}}2,0,\frac{\bf{i}}2]^T$ 表示的状态进行计算基上的测量后，这个状态以 $\frac12 \times \frac12 = \frac14$ 的概率处于状态 $|00\rangle$，以 $(\frac12-\frac{\bf{i}}2) \times (\frac12+\frac{\bf{i}}2) = \frac14+\frac14 = \frac12$ 的概率处于状态 $|01\rangle$，以 $0 \times 0 = 0$ 的概率处于状态 $|10\rangle$，以 $\frac{\bf{i}}2 \times (-\frac{\bf{i}}2) = \frac14$ 的概率处于状态 $|11\rangle$。

现在他有一个 $n$ 量子比特的量子态 $|\psi\rangle$，请你帮他对每个量子比特都求出进行计算基上的量子测量后其为 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的概率分别是多少。

输入格式

第一行输入一个正整数 $n$ ($1 \le n \le 8$)，表示系统的量子比特数。

接下来 $2^n$ 行，第 $i$ 行输入两个由空格分隔的实数 $a_i$ 和 $b_i$，分别表示量子系统向量第 $i$ 个分量的实部和虚部。

数据保证量子系统处于所有态的概率求和与 $1$ 的绝对或相对误差不超过 $10^{-6}$。

输出格式

输出 $n$ 行，每行两个实数 $p_0$ 和 $p_1$，用一个空格分隔，分别表示每个量子比特在测量后处于状态 $|0\rangle$ 和处于状态 $|1\rangle$ 的概率。

你的输出被认为是正确的当且仅当其与正确答案的绝对或相对误差不超过 $10^{-6}$。

2
0.5 0
0.5 -0.5
0 0
0 0.5

0.250000000 0.750000000
0.750000000 0.250000000