#P12405. 「CZOI-R3」星光闪耀

    ID: 13557 远端评测题 1000ms 512MiB 尝试: 0 已通过: 0 难度: 5 上传者: 标签>数学洛谷原创O2优化组合数学排列组合Ad-hoc洛谷比赛

「CZOI-R3」星光闪耀

题目背景

今夜星光闪闪 我爱你的心满满 ……

题目描述

天空中有一个包含 nn 颗星星的星团。

小 K 认为天空中只有一个星团不够浪漫,因此她准备施展魔法。若在她施展魔法前第 ii 个星团包含 aia_i 颗星星,且 ai2a_i\ge2;则施展魔法后天空中分别增加包含 1ai11\sim a_i-1 颗星星的星团(注意原本的星团会被保留)。

小 K 定义一个包含 vv 颗星星的星团的闪耀度kvk^v。求她施展 mm 次魔法后,天空中所有星团的闪耀度之和,对 998244353998244353 取模。


【形式化题意】

给定一个可重集 S0S_0,初始 S0S_0 中只有一个数 nn

定义一次操作为:新建一个可重集 S1S_1,对于 1iS0\forall1\le i\le|S_0|,若 S0,i2S_{0,i}\ge 2,则对于 1jS0,i1\forall1\le j\le S_{0,i}-1,将 jj 加入 S1S_1。在这次操作的最后,将 S1S_1 中所有元素加入 S0S_0

求进行了 mm 次操作后的 i=1S0kS0,i\sum_{i=1}^{|S_0|} k^{S_{0,i}},对 998244353998244353 取模。

输入格式

本题有多组测试数据。

第一行输入 11 个整数 TT

接下来 TT 行,每行输入 33 个整数 n,m,kn,m,k

输出格式

TT 行,每行输出 11 个整数,表示该组数据的答案。

5
3 4 6
8 2 5
501 501 6
11451 41919 313172124
824431 960532 10000007
420
610340
520860091
95420244
42443525

提示

【样例解释】

以下记 LiL_i 表示包含 ii 颗星星的星团的个数,即 S0,j=iS_{0,j}=i 的个数。

11 组测试数据中:

  • 第一次施展魔法(进行操作)后 L1=1,L2=1,L3=1L_1=1,L_2=1,L_3=1
  • 第二次施展魔法(进行操作)后 L1=3,L2=2,L3=1L_1=3,L_2=2,L_3=1
  • 第三次施展魔法(进行操作)后 L1=6,L2=3,L3=1L_1=6,L_2=3,L_3=1
  • 第四次施展魔法(进行操作)后 L1=10,L2=4,L3=1L_1=10,L_2=4,L_3=1

因此答案为 10×61+4×62+1×63=42010\times6^1+4\times6^2+1\times6^3=420

22 组测试数据中:

  • 第一次施展魔法(进行操作)后 1in,Li=1\forall1\le i\le n,L_i=1
  • 第二次施展魔法(进行操作)后 1in,Li=ni+1\forall1\le i\le n,L_i=n-i+1

因此答案为 i=1n(ni+1)5i=610340\sum_{i=1}^n(n-i+1)5^i=610340

【数据范围】

本题采用捆绑测试

n,m\sum n,\sum m 分别为单个测试点内 n,mn,m 的和。

  • Subtask #1(5 pts5\text{ pts}):k=0k=0
  • Subtask #2(10 pts10\text{ pts}):n5n\le5m5m\le5
  • Subtask #3(10 pts10\text{ pts}):m3m\le3
  • Subtask #4(10 pts10\text{ pts}):k=1k=1
  • Subtask #5(10 pts10\text{ pts}):n2×102n\le2\times10^2m2×102m\le2\times10^2 且单个测试点内的 kk 相等。
  • Subtask #6(10 pts10\text{ pts}):n2×103n\le2\times10^3m2×103m\le2\times10^3 且单个测试点内的 kk 相等。
  • Subtask #7(15 pts15\text{ pts}):n2×107\sum n\le2\times10^7
  • Subtask #8(15 pts15\text{ pts}):m2×106\sum m\le2\times10^6
  • Subtask #9(15 pts15\text{ pts}):无特殊限制。

对于 100%100\% 的数据,1T5×1051\le T\le5\times10^51n2×1061\le n\le2\times10^61m2×1061\le m\le2\times10^6m2×107\sum m\le2\times10^70k9982443520\le k\le998244352

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