一、单项选择题（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

1. 有 $5$ 个红色球和 $5$ 个蓝色球，它们除了颜色之外完全相同。将这 $10$ 个球排成一排，要求任意两个蓝色球都不能相邻，有多少种不同的排列方法？ {{ select(1) }}

• $25$
• $30$
• $6$
• $120$

2. 在 KMP 算法中，对于模式串 $P = \tt{abacaba}$，其 next 数组（next[i] 定义为模式串 $P[0..i]$ 最长公共前后缀的长度，且数组下标从 0 开始）的值是什么？ {{ select(2) }}

• $\{0, 0, 1, 0, 1, 2, 3\}$
• $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• $\{0, 0, 1, 1, 2, 2, 3\}$
• $\{0, 0, 0, 0, 1, 2, 3\}$

3. 对一个大小为 $16$（下标 $0\sim 15$）的数组上构建满线段树。查询区间 $[3, 11]$ 时，最少需要访问多少个树结点（包括路径上的父结点和完全包含在查询区间内的结点）？ {{ select(3) }}

• $7$
• $8$
• $9$
• $10$

4. 将字符串 $\tt cat$, $\tt car$, $\tt cart$, $\tt case$, $\tt dog$, $\tt do$ 插入一个空的 Trie 树（前缀树）中。构建完成 Trie 树（包括根节点）共有多少个结点？ {{ select(4) }}

• $8$
• $9$
• $10$
• $11$

5. 对于一个包含 $n$ 个结点和 $m$ 条边的有向无环图（DAG），其拓扑排序的结果有多少种可能？ {{ select(5) }}

• 只有 $1$ 种
• 最多 $n$ 种
• 等于 $n - m$ 种
• 以上都不对

6. 在一个大小为 13 的哈希表中，使用闭散列法的线性探查来解决冲突。哈希函数为 $H(\text{key}) = \text{key} \bmod 13$。依次插入关键字 $18, 26, 35, 9, 68, 74$。插入 $74$ 后，它最终被放置在哪个索引位置？ {{ select(6) }}

• $5$
• $7$
• $9$
• $11$

7. 一个包含 $8$ 个顶点的完全图（顶点的编号为 $1$ 到 $8$），任意两点之间的边权等于两顶点编号的差的绝对值。例如，顶点 $3$ 和 $7$ 之间的边权为 $|7 - 3| = 4$。该图的最小生成树总权重是多少？ {{ select(7) }}

• $7$
• $8$
• $9$
• $10$

8. 如果一棵二叉搜索树的后序遍历序列是 $2, 5, 4, 8, 12, 10, 6$，那么该树的前序遍历是什么？ {{ select(8) }}

• $6, 4, 2, 5, 10, 8, 12$
• $6, 4, 5, 2, 10, 12, 8$
• $2, 4, 5, 6, 8, 10, 12$
• $12, 8, 10, 5, 2, 4, 6$

9. 一个 $0-1$ 背包问题，背包容量为 $20$。现有 $5$ 个物品，其重量和价值分别为 $7, 5, 4, 3, 6$ 和 $15, 12, 9, 7, 13$。装入背包的物品能获得的最大总价值是多少？ {{ select(9) }}

• $43$
• $41$
• $45$
• $44$

10. 在一棵以结点 $1$ 为根的树中，结点 $12$ 和结点 $18$ 的最近公共祖先（LCA）是结点 $4$。那么下列哪个结点的 LCA 组合是不可能出现的？ {{ select(10) }}

• $LCA(12, 4) = 4$
• $LCA(18, 4) = 4$
• $LCA(12, 18, 4) = 4$
• $LCA(12, 1) = 4$

11. 递归关系式 $T(n) = 2T(n/2) + O(n^2)$ 描述了某个分治算法的时间复杂度。请问该算法的时间复杂度是多少？ {{ select(11) }}

• $O(n)$
• $O(n \log n)$
• $O(n^2)$
• $O(n^2 \log n)$

12. 在一个初始为空的最小堆（min-heap）中，依次插入元素 $20, 12, 15, 8, 10, 5$。然后连续执行两次“删除最小值”（delete-min）操作。请问此时堆顶元素是什么？ {{ select(12) }}

• $10$
• $12$
• $15$
• $20$

13. $1$ 到 $1000$ 之间，不能被 $2,3,5$ 中任意一个数整除的整数有多少个？ {{ select(13) }}

• $266$
• $267$
• $333$
• $334$

14. 斐波那契数列的定义为 $F(0)=0$, $F(1)=1$, $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$。使用朴素递归方法计算 $F(n)$ 的时间复杂度是指数级的，而使用动态规划（或迭代）方法的时间复杂度是线性的。造成这种巨大差异的根本原因是？ {{ select(14) }}

• 递归函数调用栈开销过大
• 操作系统对递归深度有限制
• 朴素递归中存在大量的重叠子问题未被重复利用
• 动态规划使用了更少的数据存储空间

15. $5$ 个独立的、不可抢占的任务 $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ 需要在一台机器上执行（从时间 $0$ 开始执行），每个任务都有对应的处理时长和截止时刻，按顺序分别为 $3, 4, 2, 5, 1$ 和 $5, 10, 3, 15, 11$。如果某一个任务超时，相应的惩罚等于其处理时长。为了最小化总惩罚，应该优先执行哪个任务？ {{ select(15) }}

• 处理时间最短的任务 $A_5$
• 截止时间最早的任务 $A_3$
• 处理时间最长的任务 $A_4$
• 任意一个任务都可以

二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 A，错误填 B；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

第 1 题

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
bool flag[27];
int n;
int p[27];
int ans = 0;
void dfs(int k) {
    if (k == n + 1) {
        ++ans;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (flag[i]) continue;
        if (k > 1 && i == p[k - 1] + 1) continue;
        p[k] = i;
        flag[i] = true;
        dfs(k + 1);
        flag[i] = false;
    }
    return;
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    dfs(1);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

判断题

16. (1 分) 当输入的 $n=3$ 的时候，程序输出的答案为 3。 {{ select(16) }}

• 正确
• 错误

17. 在 dfs 函数运行过程中，$k$ 的取值会满足 $1 \leq k \leq n+1$。 {{ select(17) }}

• 正确
• 错误

18. 删除第 19 行的 flag[i]=false;，对答案不会产生影响。 {{ select(18) }}

• 正确
• 错误

选择题

19. 当输入的 $n=4$ 的时候，程序输出的答案为（ ）。 {{ select(19) }}

• $11$
• $12$
• $24$
• $9$

20. 如果因为某些问题，导致程序运行第 25 行的 dfs 函数之前，数组 p 的初值并不全为 0，则对程序的影响是（ ）。 {{ select(20) }}

• 输出的答案比原答案要小
• 无法确定输出的答案
• 程序可能陷入死循环
• 没有影响

21. 假如删去第 14 行的 if(flag[i]) continue;，输入 3，得到的输出答案是（ ）。 {{ select(21) }}

• $27$
• $3$
• $16$
• $12$

第 2 题

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
int cnt_broken = 0;
int cnt_check = 0;
int n, k;
inline bool check(int h) {
    printf("now check:%d\n", h);
    ++cnt_check;
    if (cnt_broken == 2) {
        printf("You have no egg!\n");
        return false;
    }
    if (h >= k) {
        ++cnt_broken;
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}
inline bool assert_ans(int h) {
    if (h == k) {
        printf("You are Right using %d checks\n", cnt_check);
        return true;
    } else {
        printf("Wrong answer!\n");
        return false;
    }
}
inline void guess1(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (check(i)) {
            assert_ans(i);
            return;
        }
    }
}
inline void guess2(int n) {
    int w = 0;
    for (w = 1; w * (w + 1) / 2 < n; ++w)
        ;
    for (int ti = w, nh = w;; --ti, nh += ti, nh = std::min(nh, n)) {
        if (check(nh)) {
            for (int j = nh - ti + 1; j < nh; ++j) {
                if (check(j)) {
                    assert_ans(j);
                    return;
                }
            }
            assert_ans(nh);
            return;
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    if (t == 1) {
        guess1(n);
    } else {
        guess2(n);
    }
    return 0;
}

注意：下述的“猜测数”为调用 check 函数的次数（即 $cnt\_check$ 的值）；“猜测正确”的含义为 assert_ans 函数 return true（执行第 25 行所在分支）的情况；所有输入保证 $1 \leq k \leq n$）。

判断题

22. 当输入为 "6 5 1" 时，猜测次数为 5；当输入为 "6 5 2" 时，猜测次数为 3。 {{ select(22) }}

• 正确
• 错误

23. 不管输入的 $n$ 和 $k$ 具体为多少，$t=2$ 时的猜测数总是小于等于 $t=1$ 时的猜测数。 {{ select(23) }}

• 正确
• 错误

24. 不管 $t=1$ 或 $t=2$，程序都一定会猜到正确结果。 {{ select(24) }}

• 正确
• 错误

选择题

25. 函数 guess1 在运行过程中，$cnt\_broken$ 的值最多为（ ）。 {{ select(25) }}

• $0$
• $1$
• $2$
• $n$

26. 函数 guess2 在运行过程中，最多使用的猜测次数的量级为（ ）。 {{ select(26) }}

• $O(n)$
• $O(n^2)$
• $O(\sqrt{n})$
• $O(\log n)$

27. 当输入的 $n=100$ 的时候，代码中 $t=1$ 和 $t=2$ 分别需要的猜测次数最多分别为（ ）。 {{ select(27) }}

• $100, 14$
• $100, 13$
• $99, 14$
• $99, 13$

第 3 题

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#define ll long long
int n, m;
std::vector<int> k, p;
inline int mpow(int x, int k) {
    int ans = 1;
    for (; k; k >>= 1, x = x * x) {
        if (k & 1)
            ans = ans * x;
    }
    return ans;
}
std::vector<int> ans1, ans2;
int cnt1, cnt2;
inline void dfs(std::vector<int>& ans, int& cnt, int l, int r, int v) {
    if (l > r) {
        ++cnt;
        ans.push_back(v);
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        dfs(ans, cnt, l + 1, r, v + k[l] * mpow(i, p[l]));
    }
    return;
}
std::vector<int> cntans1;
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    k.resize(n + 1);
    p.resize(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d%d", &k[i], &p[i]);
    }
    dfs(ans1, cnt1, 1, n >> 1, 0);
    dfs(ans2, cnt2, (n >> 1) + 1, n, 0);
    std::sort(ans1.begin(), ans1.end());
    int newcnt1 = 1;
    cntans1.push_back(1);
    for (int i = 1; i < cnt1; ++i) {
        if (ans1[i] == ans1[newcnt1 - 1]) {
            ++cntans1[newcnt1 - 1];
        } else {
            ans1[newcnt1++] = ans1[i];
            cntans1.push_back(1);
        }
    }
    cnt1 = newcnt1;
    std::sort(ans2.begin(), ans2.end());
    int las = 0;
    ll ans = 0;
    for (int i = cnt2 - 1; i >= 0; --i) {
        for (; las < cnt1 && ans1[las] + ans2[i] < 0; ++las)
            ;
        if (las < cnt1 && ans1[las] + ans2[i] == 0)
            ans += cntans1[las];
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

判断题

28. 删除第 51 行的 std::sort(ans2.begin（ ）, ans2.end（ ）); 后，代码输出的结果不会受到影响。 {{ select(28) }}

• 正确
• 错误

29. 假设计算过程中不发生溢出，函数 $mpow(x, k)$ 的功能是求出 $x^k$ 的取值。 {{ select(29) }}

• 正确
• 错误

30. 代码中第 39 行到第 50 行的目的是为了将 $ans1$ 数组进行“去重”操作。 {{ select(30) }}

• 正确
• 错误

选择题

31. 当输入为 3 15 1 2 -1 2 1 2 时，输出结果为（ ） {{ select(31) }}

• $4$
• $8$
• $0$
• $10$

32. 记程序结束前 $p$ 数组元素的最大值为 $P$，则该代码的时间复杂度是（ ）。 {{ select(32) }}

• $O(n)$
• $O(m^n \log m^n)$
• $O(m^{n/2} \log m^{n/2})$
• $O(m^{n/2} (\log m^{n/2} + \log P))$

33. 本题所求出的是（ ）。 {{ select(33) }}

• 满足 $a, b, c \in [1, m]$ 的整数方程 $a^3 + b^3 = c^3$ 的解的数量
• 满足 $a, b, c \in [1, m]$ 的整数方程 $a^2 + b^2 = c^2$ 的解的数量
• 满足 $x_i \in [0, m]$ 的整数方程 $\sum_{i=1}^{n} k_i \cdot x_i^{p_i} = 0$ 的解的数量
• 满足 $x_i \in [1, m]$ 的整数方程 $\sum_{i=1}^{n} k_i \cdot x_i^{p_i} = 0$ 的解的数量

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

第 1 题

（特殊最短路）给定一个含 $N$ 个点、$M$ 条边的带权无向图，边权非负。起点为 $S$，终点为 $T$。对于一条 $S$ 到 $T$ 的路径，可以在整条路径中，至多选择一条边作为“免费边”：当第一次经过这条被选中的边时，费用视为 0；如果之后再次经过该边，则仍按其原始权重计费。点和边均允许重复经过。求从 $S$ 到 $T$ 的最小总费用。

以下代码求解了上述问题。试补全程序。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const long long INF = 1e18;

struct Edge {
    int to;
    int weight;
};

struct State {
    long long dist;
    int u;
    int used_freebie; // 0 for not used, 1 for used
    bool operator>(const State &other) const {
        return dist > other.dist;
    }
};

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m >> s >> t;

    vector<vector<Edge>> adj(n + 1);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
        adj[v].push_back({u, w});
    }

    vector<vector<long long>> d(n + 1, vector<long long>(2, INF));
    priority_queue<State, vector<State>, greater<State>> pq;

    d[s][0] = 0;
    pq.push({0, s, __①__});

    while (!pq.empty()) {
        State current = pq.top();
        pq.pop();

        long long dist = current.dist;
        int u = current.u;
        int used = current.used_freebie;

        if (dist > __②__) {
            continue;
        }

        for (const auto &edge : adj[u]) {
            int v = edge.to;
            int w = edge.weight;

            if (d[u][used] + w < __③__) {
                __③__ = d[u][used] + w;
                pq.push({__③__, v, used});
            }

            if (used == 0) {
                if (__④__ < d[v][1]) {
                    d[v][1] = d[u][used];
                    pq.push({d[v][1], v, 1});
                }
            }
        }
    }

    cout << __⑤__ << endl;
    return 0;
}

34. ① 处应填（ ） {{ select(34) }}

• 0
• 1
• -1
• false

35. ② 处应填（ ） {{ select(35) }}

• d[u][!used]
• d[u][used]
• d[t][used]
• INF

36. ③ 处应填（ ） {{ select(36) }}

• d[v][1]
• d[v][used]
• d[u][used]
• d[v][0]

37. ④ 处应填（ ） {{ select(37) }}

• d[v][0]
• d[v][1]
• d[u][0]
• d[u][1]

38. ⑤ 处应填（ ） {{ select(38) }}

• d[t][1]
• d[t][0]
• min(d[t][0], d[t][1])
• d[t][0] + d[t][1]

第 2 题

工厂打算通过客户反馈来间接测试生产线，从而找到存在缺陷的生产线。工厂有 $n$ 条生产线（编号 $0 \sim n-1$），已知其中恰有一条生产线存在缺陷。每一轮测试为，从若干生产线的产品取样混合成一个批次发给客户。若该批次中包含缺陷生产线的产品，客户将要求退货（结果记为 1），否则正常收货（记为 0）。受售后压力限制，在所有发货批次中，最多只能有 $k$ 次退货（即结果为 1 的次数 $\leq k$）。工厂的目标是，设计最少的间接测试轮数 $w$（发货总批次），保证根据客户收货或退货的反馈结果，唯一确定存在缺陷的生产线。

以下程序实现了工厂的目标，包含两部分：i) 确定 $w$ 的最小值，并设计最优测试方案；ii) 根据测试结果推断存在缺陷的生产线。该程序确定 $w$ 最小值的方法为：由于不同的生产线故障时，测试应当返回不同的结果，因此 $w$ 轮测试的可能结果总数不应少于生产线数量。

test_subset() 函数为抽象测试接口，输入所有批次的方案并返回一个二进制编码；该编码表示为每批次的检测结果（即最低位是第 1 批次、最高位是第 $w$ 批次）；其实现在此处未给出。

试补全程序。

#include <algorithm>
#include <cstddef>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

long long comb(int w, int i) {
    if (i < 0 || i > w) {
        return 0;
    }
    long long res = 1;
    for (int t = 1; t <= i; ++t) {
        res = res * (w - t + 1) / t;
    }
    return res;
}

// 计算长度为 w、1 的个数 ≤ k 的码字总数
long long count_patterns(int w, int k) {
    long long total = 0;
    for (int t = 0; t <= min(w, k); ++t) {
        total += comb(w, t);
    }
    return total;
}

// 抽象测试接口
int test_subset(const vector<vector<int>> &plan);

int solve(int n, int k) {
    // === 第 1 步：求最小 w ===
    int w = 1;
    while (__①__) {
        ++w;
    }
    cout << w << endl;

    // === 第 2 步：生成测试方案 ===
    vector<vector<int>> code(n, vector<int>(w, 0));
    int idx = 0;
    for (int ones = 0; ones <= k && idx < n; ++ones) {
        vector<int> bits(w, 0);
        fill(bits.begin(), bits.begin() + ones, 1);
        do {
            for (int b = 0; b < w; ++b) {
                code[idx][b] = bits[b];
            }
            ++idx;
            if (idx >= n) {
                break;
            }
        } while (__②__);
    }

    vector<vector<int>> plan(w);
    for (int i = 0; i < w; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (__③__) {
                plan[i].push_back(j);
            }
        }
    }

    // === 第 3 步：调用测试接口 ===
    int signature = test_subset(plan);

    // === 第 4 步：结果解码 ===
    vector<int> sig_bits(w, 0);
    for (int i = 0; i < w; ++i) {
        if (__④__) {
            sig_bits[i] = 1;
        }
    }

    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (__⑤__) return j;
    }
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    int ans = solve(n, k);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

39. ① 处应填（ ） {{ select(39) }}

• (1 << w) < n
• count_patterns(w, k) < n
• count_patterns(k, w) < n
• comb(w, k) < n

40. ② 处应填（ ） {{ select(40) }}

• next_permutation(bits.begin(), bits.end())
• prev_permutation(bits.begin(), bits.end())
• next_permutation(bits.begin(), bits.begin()+ones)
• prev_permutation(bits.begin(), bits.begin()+ones)

41. ③ 处应填（ ） {{ select(41) }}

• (j >> i) & 1
• (i >> j) & 1
• code[i][j] == 1
• code[j][i] == 1

42. ④ 处应填（ ） {{ select(42) }}

• (signature >> i) & 1
• (signature >> i) ^ 1
• signature | (1 << i)
• (signature >> i) | 1

43. ⑤ 处应填（ ） {{ select(43) }}

• is_permutation(code[j].begin(), code[j].end(), sig_bits.begin())
• code[j] == sig_bits
• plan[j] == sig_bits
• code[j][i] == sig_bits[i]