欧拉函数 $\varphi(n)$ 表示 $1\sim n$ 中与 $n$ 互质的数的个数。

求单个欧拉函数

$O(\sqrt{n})$

$\varphi(n)=n\times \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$

long long phi(long long n)
{
    long long ans = n;
    for (long long i = 2; i * i <= n; i++)
        if (n % i == 0)
        {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    if (n > 1)
        ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

线性筛求欧拉函数

$O(n)$，同时求出 $1\sim n$ 所有数的欧拉函数值。

const int MAXN = 40000;
bool p[MAXN + 5];
int phi[MAXN + 5];
vector<int> pri;

void get_phi(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        p[i] = true;
    p[0] = p[1] = false;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (p[i])
        {
            pri.push_back(i);
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; j < pri.size(); j++)
        {
            if (1LL * i * pri[j] > n)
                break;
            p[i * pri[j]] = false;
            if (i % pri[j] == 0)
            {
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
            else
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
}

欧拉函数性质

• 若 $p$ 是质数，$\varphi(p)=p-1$
• 若 $p$ 是质数，$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}$
• 若 $\gcd(a,b)=1$，则 $\varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b)$（积性函数）
• $\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n$

欧拉定理

若 $\gcd(a,m)=1$，则：

$a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m$

当 $m$ 为质数时就是费马小定理。